Los intuicionistas

Por Javier García Salcedo

No es extraño tener la sensación de que las matemáticas no son ciencias en el mismo sentido en que la física o la química lo son. Por ejemplo: las cuestiones matemáticas no se deciden con base en métodos experimentales. No usamos microscopios para determinar las propiedades de los números infinitesimales. Otro ejemplo: los resultados matemáticos son exactos e incontrovertibles; los de la física o la química, en cambio, son aproximados y están sujetos, en virtud de su carácter empírico, a una posible, aunque quizá improbable, revisión. 

Las matemáticas han sido una fuente de perplejidad en Occidente al menos desde el siglo VI a.C. cuando Pitágoras formuló su seminal teorema y sus conclusiones extravagantes acerca del poder oculto de los números. La asociación entre ciencia y misticismo fue obstinada en la escuela pitagórica, y tuvo que pasar mucho tiempo antes de que esos elementos sobrenaturales, que podemos rastrear todavía en las obras de Galileo o de Newton, fueran purgados de la imaginación matemática. 

Hoy en día pocos matemáticos creen en la reencarnación o en la irreductible masculinidad del 3, pero el carácter sui generis de las matemáticas persiste. Esta peculiaridad tiene varios aspectos. Uno de ellos, quizá el más saliente, es la naturaleza del objeto de estudio de la ciencia matemática. ¿Qué clase de cosas son los números, las hipérboles, los conjuntos? Incluso la más inocente de las verdades matemáticas parece describir seres fantásticos, que si bien somos capaces de comprender, no podemos ver, ni oír, ni tocar. Pero si no podemos ver, ni oír, ni tocar un conjunto o una circunferencia, ¿cómo podemos entonces saber que estas cosas existen, y que de hecho tienen las propiedades que les predicamos en nuestros teoremas? ¿Qué evidencia podemos brindar para respaldar nuestra creencia de que uno más uno es igual a dos? Estas preguntas ponen de manifiesto otro de los aspectos misteriosos de las matemáticas. La manera en que el conocimiento matemático se adquiere y se multiplica no parece tener equivalente en otras áreas de la ciencia.

Los matemáticos no necesitan, por supuesto, preocuparse mucho por estas cuestiones filosóficas. El practicante matemático no requieren demostrar la existencia del conjunto vacío antes de obtener resultados interesantes y expandir lo que se sabe acerca de él. En tanto disciplina, las matemáticas están plenamente justificadas por la fecundidad de los conceptos y de los métodos que les aportan a las demás ciencias.

Sería erróneo, sin embargo, pensar que la peculiaridad de las matemáticas no haya llamado la atención de muchos matemáticos a través de la historia. Varias de las posibles respuestas a las preguntas que formulamos dos párrafos arriba (¿Qué clase de cosas son los números, las hipérboles, los conjuntos? ¿Cómo podemos entonces saber que estas cosas existen, y que de hecho tienen las propiedades que les predicamos en nuestros teoremas?) han sido, y siguen siendo, evaluadas en departamentos de matemáticas y filosofía por todo el mundo. No cabe pasar revista en esta entrada a todas las teorías que han sido formuladas con el fin de esclarecer el carácter misterioso de las matemáticas. Pero sí podemos echarle un ojo a la que es quizá la más radical entre ellas: el llamado intuicionismo matemático.

El intuicionismo es una corriente filosófica que tomó forma durante la “crisis de los fundamentos” que sacudió las matemáticas en los años 1920. Esta crisis, cuyos antecedentes pueden rastrearse al menos hasta los años 1870 (época en que las geometrías no euclidianas fueron intensamente discutidas), tuvo como uno de sus puntos focales el estatus ontológico de los objetos matemáticos. En esta controversia, los intuicionistas fueron la punta de lanza del campo antirrealista, esto es, del campo de quienes rechazaron la idea de que los objetos matemáticos fueran entidades objetivas o autosubsistentes, independientes de toda actividad mental de los seres humanos.

Según L.E.J. Brouwer (1881-1966), padre holandés del intuicionismo, los objetos matemáticos son constructos mentales, y, en tanto tal existen únicamente en la medida en que haya mentes que los creen. Las matemáticas son una actividad del pensamiento (no una teoría) en la que fórmulas y signos tienen el papel auxiliar de permitirnos recordar ciertas construcciones mentales que hemos efectuado y comunicarlas a otros. El acto creativo fundamental de las matemáticas está ligado a la intuición del paso y de la divisibilidad del tiempo. Esta intuición nos permite construir los números naturales que, de acuerdo con Brouwer, son los objetos matemáticos básicos (no los conjuntos). 

La orientación constructivista del intuicionismo tiene importantes consecuencias para la interpretación y la práctica de las matemáticas. Una de ellas es el rechazo de la existencia de conjuntos actualmente o de hecho infinitos. Es en principio posible, según Brouwer, construir una serie de n objetos matemáticos, como la serie de las primeras mil potencias de 2, para un número natural arbitrario n. Pero la cantidad de construcciones realizables por una mente humana, incluso ideal, es finita. Por tanto, no existen conjuntos que de hecho contengan una infinidad de objetos matemáticos, si estos objetos son libres creaciones del intelecto humano. Existen, a lo más, conjuntos a los cuales es siempre posible añadir una nueva construcción, es decir, conjuntos potencialmente infinitos.

Otra de las consecuencias notables del intuicionismo es su incompatibilidad con la adopción de algunos principios lógicos clásicos. Uno de ellos es el llamado “principio del tercero excluido”, el cual plantea que dada una oración declarativa arbitraria A, una de dos cosas sucede: o bien A es verdadera, o su negación lo es. Este principio es intuitivo. Tiene sentido pensar, por ejemplo, que o bien “Tamerlán nació en Mongolia”, o bien “Tamerlán no nació en Mongolia” es verdadera. No parece existir otra alternativa.

Brouwer, sin embargo, pensó otra cosa. Amparado por su radical constructivismo, sostuvo que la creencia en la validez irrestricta del “principio del tercero excluido” es inconsistente con la naturaleza creativa del trabajo matemático. En matemáticas, el que un objeto o posea una propiedad P depende de que podamos demostrar constructivamente que o posee P. Análogamente, el que o no posea P depende de que podamos demostrar constructivamente que o no posee P. Pero a defecto de cualquier construcción, ni la oración “o posee P” ni su negación “o no posee P” es verdadera, lo cual viola de manera flagrante el principio lógico susodicho. 

Hay otras maneras en las que la matemática intuicionista de Brouwer difiere de la matemática que implementa los principios lógicos clásicos; en su tratamiento del continuo, por ejemplo, explícitamente la contradice. Con el tiempo, las matemáticas intuicionistas fueron ganando en rigor, claridad y popularidad, y hoy día son una rama de las matemáticas cuya legitimidad no se discute. Sin embargo, las matemáticas intuicionistas nunca lograron eclipsar la influencia de sus rivales clásicas en los departamentos de ciencias. El matemático es parte de un gremio conservador en el que los intuicionistas representaron una aguerrida, aunque minoritaria, facción revisionista.

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